Liniile de tendință și funcțiile sale. Lucrarea la curs: Aproximarea unei funcții prin metoda celor mai mici pătrate.

liniile de tendință și funcțiile sale

Calcul folosind tabele realizate prin mijloace Microsoft Excel Diagrama algoritmică Rezultate obținute folosind funcția Linear Prezentarea rezultatelor sub formă de grafice Introducere Scopul lucrării cursului este de a aprofunda cunoștințele de informatică, de a dezvolta și de a consolida abilitățile de lucru cu procesorul de foi de calcul Microsoft Excel și produsul software MathCAD și aplicația acestora pentru a rezolva problemele folosind un computer din domeniul tematic legat de cercetare.

liniile de tendință și funcțiile sale

ÎN cercetare științifică aproximarea este utilizată pentru a descrie, analiza, generaliza și utiliza în continuare rezultatele empirice. După cum știți, poate exista o relație exactă funcțională între cantități, atunci când o valoare a argumentului corespunde unei valori definite și o relație mai puțin precisă corelațiecând o valoare specifică a argumentului corespunde unei valori aproximative sau unui set de valori ale unei funcții care sunt mai mult sau mai puțin apropiate unul altuia.

Când se efectuează cercetări științifice, se prelucrează rezultatele unei observații sau experimente, de obicei trebuie să ne ocupăm de a doua opțiune. Când se studiază dependențele cantitative ale diferiților indicatori, ale căror valori sunt determinate empiric, de regulă, există o oarecare variabilitate.

În parte este stabilit de eterogenitatea obiectelor studiate de natură neînsuflețită și, mai ales, vie, parțial - datorită erorii de observare și prelucrării cantitative a materialelor.

Webinar Smart City #5 - Planul European de Redresare Economică

Ultima componentă nu este întotdeauna posibilă excluderea completă; ea poate fi minimizată doar prin selectarea atentă a unei metode adecvate de cercetare și precizia lucrării.

Prin urmare, la efectuarea oricărei liniile de tendință și funcțiile sale de cercetare, apare problema identificării naturii adevărate a dependenței indicatorilor studiați, acest grad sau altul este mascat de lipsa de considerare a variabilității: valorilor. Atunci când alegeți o aproximare, ar trebui să procedați dintr-o problemă specifică de cercetare. De obicei, cu cât ecuația este mai simplă pentru a aproxima, cu atât este mai aproximativă descrierea rezultată a relației. Prin urmare, este important să citiți cât de semnificative și ce au cauzat abaterile valorilor specifice de la tendința rezultată.

Atunci când se descrie dependența valorilor determinate empiric, se poate obține o precizie mult mai mare utilizând o ecuație mai complexă, multi-parametrică. Cu toate acestea, nu are rost să ne străduim cu o precizie maximă pentru a transmite abateri aleatorii ale valorilor în serii specifice de date empirice. Este mult mai important să înțelegem modelul general, care, în acest caz, este cel mai logic și cu o precizie acceptabilă, exprimat exact prin ecuația cu doi parametri funcția de putere Împreună cu modelele de identificare mascate de abateri aleatorii ale datelor empirice de la tipar generalaproximarea permite, de asemenea, rezolvarea multor alte probleme importante: formalizarea dependenței constatate; găsiți valorile necunoscute ale variabilei dependente prin interpolare sau, dacă este cazul, prin extrapolare.

Lucrarea la curs: Aproximarea unei funcții prin metoda celor mai mici pătrate.

În fiecare sarcină sunt formulate condițiile problemei, datele inițiale, forma de emitere a rezultatelor, sunt indicate principalele relații matematice pentru rezolvarea problemei. În conformitate cu metoda de rezolvare a problemei, se dezvoltă un algoritm de soluție, care este prezentat sub formă grafică.

Enunțarea problemei 1. Folosind metoda celor mai mici pătrate funcția dată în tabel, aproximați: a un polinom de gradul I; b un polinom de gradul II; c dependență exponențială. Calculați coeficientul de determinism pentru fiecare dependență. Calculați coeficientul de corelație numai în cazul a.

liniile de tendință și funcțiile sale

Desenați o linie de tendință pentru fiecare dependență. Faceți o concluzie care dintre formulele obținute aproximează cel mai bine funcția. Scrieți un program într-unul dintre limbajele de programare și comparați rezultatele numărării cu cele obținute mai sus.

Opțiunea 3. Funcția este dată în tabel. Tabelul 1. Formule de calcul Adesea, atunci când se analizează date empirice, devine necesar să se găsească o relație funcțională între valorile lui x și y, care sunt obținute ca urmare a experienței sau a măsurătorilor.

Xi valoare independentă este dată de experimentator, iar yi, numite valori empirice sau experimentale, se obține din experiență.

Forma analitică a dependenței funcționale care există între valorile lui x și y este de obicei necunoscută, de aceea apare o sarcină practic importantă - de a găsi o formulă empirică unde sunt parametriiale căror valori, dacă este posibil, ar diferi puțin de valorile experimentale.

Conform metodei celor mai mici pătrate, cei mai buni coeficienți sunt aceia pentru care suma pătratelor abaterilor funcției empirice găsite de la valorile date ale funcției este minimă.

Folosind starea necesară extremum al unei funcții de mai multe variabile - egalitatea la zero a derivatelor parțiale, găsiți un set de coeficienți care furnizează minimul funcției definite de formula 2 și obțineți un sistem normal pentru determinarea coeficienților: Astfel, găsirea coeficienților se reduce la sistemul de rezolvare 3. Tipul de sistem 3 depinde de liniile de tendință și funcțiile sale clasă de formule empirice căutăm dependență 1.

Cand relație liniară sistemul 3 va lua forma: În cazul unei dependențe pătratice, sistemul 3 ia forma: În unele cazuri, ca formulă empirică, este luată o funcție în care coeficienții nedefiniți intră neliniar.

Mai mult, uneori problema poate fi liniarizată, adică reduce la liniar. Aceste dependențe includ dependența exponențială unde a1 și a2 sunt coeficienți nedefiniți. Linealizarea se realizează luând logaritmul egalității 6după care obținem relația Să notăm și, respectiv, prin și, atunci dependența 6 poate fi scrisă în formă, ceea ce face posibilă aplicarea formulelor 4 liniile de tendință și funcțiile sale înlocuirea lui a1 cu și cu.

Pentru a verifica acordul curbei de regresie construite cu rezultatele experimentale, se introduc de obicei următoarele caracteristici numerice: coeficientul de corelație dependență liniarăraportul de corelație și coeficientul de determinism.

Opțiuni de linie de tendință în Office

Coeficientul de corelație este o măsură a relației liniare dintre dependente variabile aleatoare : arată cât de bine, în medie, una dintre cantități poate fi reprezentată ca o funcție liniară a celeilalte. Coeficientul de corelație este calculat folosind formula: unde este media aritmetică a lui x, respectiv y. Coeficientul de corelație dintre variabilele aleatoare în valoare absolută nu depășește 1. Cu cât este mai aproape de 1, cu atât relația liniară dintre x și y este mai strânsă.

În cazul unei corelații neliniare, valorile medii condiționale sunt situate în apropierea liniei curbe. În acest caz, se recomandă utilizarea raportului de corelație ca o caracteristică a rezistenței legăturii, a cărei interpretare nu depinde de tipul dependenței studiate.

Raportul de liniile de tendință și funcțiile sale este calculat prin formula: unde a numeratorul caracterizează dispersia mijloacelor condiționale în jurul mediei necondiționate. În cazul unei dependențe liniare de y de x, raportul de corelație coincide cu pătratul coeficientului de corelație. Valoarea este utilizată ca indicator al devierii regresiei de la liniaritate. Raportul de corelație este o măsură a corelației dintre y c x sub orice formă, dar nu poate da o idee despre gradul de apropiere a datelor empirice de o formă specială.

liniile de tendință și funcțiile sale

Pentru a afla cât de corect reflectă datele empirice curba a 5-a reprezentată, mai este introdusă o caracteristică - coeficientul de cum se compară liniile de tendință. O sumă de regresie a pătratelor care caracterizează împrăștierea datelor.

Cu cât suma reziduală a pătratelor este mai mică comparativ cu suma totală a pătratelor, cu atât este mai mare valoarea coeficientului de determinism r2, care arată cât de bine este ecuația obținută folosind analiza regresieiexplică relația dintre variabile.

Dacă este egal cu 1, atunci există o corelație completă cu modelul, adică nu există nicio diferență între valorile y reale și cele estimate.

Funcții Excel (după categorie)

În schimb, dacă coeficientul de determinism este 0, atunci ecuația de regresie nu reușește să prezică valorile y. Coeficientul de determinism nu depășește întotdeauna raportul de corelație. În cazul în care egalitatea este îndeplinită, se poate considera că formula empirică construită reflectă cel mai exact datele empirice.

Calcul cu ajutorul tabelelor realizate utilizând Microsoft Excel Pentru efectuarea calculelor, este recomandabil să aranjați datele sub forma tabelului 2 folosind instrumentele procesorului de foi de calcul Microsoft Excel. Pasul 1 În celulele A1: A25, introduceți valorile xi. Pasul 2. Pasul 4. În celulele C1: C25, această formulă este copiată.

Pasul 6 Această formulă este copiată în celulele D1: D Pasul 8 Această formulă este copiată în celulele F1: F Pasul 10 Această formulă este copiată în celulele G1: G Pasul În celulele H1: H25 această formulă este copiată.

Pasul 14 Această formulă este copiată în celulele I1: I Următorii pași îi facem folosind autosum. Aproximăm funcția printr-o funcție liniară. Pentru a determina coeficienții și a utiliza sistemul 4. Folosind totalurile Tabelului 2 situate în celulele A26, B26, C26 și D26, scriem sistemul 4 în forma după ce am rezolvat care, obținem și.

Sistemul a fost rezolvat prin metoda lui Cramer. Esența căreia este după cum urmează. Luați în considerare un sistem de n algebric ecuatii lineare cu n necunoscute: Determinantul sistemului este determinantul matricei sistemului: Notăm determinantul, care se obține din determinantul sistemului Δ prin înlocuirea coloanei jth cu coloana Astfel, aproximarea liniară are forma Rezolvăm sistemul 11 folosind instrumentele Microsoft Excel.

liniile de tendință și funcțiile sale

Rezultatele sunt prezentate în Tabelul 3. Apoi, aproximăm funcția printr-o funcție pătratică.

liniile de tendință și funcțiile sale

Pentru a determina coeficienții a1, a2 și a3, folosim sistemul 5. Rezultatele sunt prezentate în Tabelul 4. Acum aproximăm funcția cu o funcție exponențială.

În ce program să desenăm graficul. Grafic pentru trasarea funcțiilor matematice

Pentru a determina coeficienții și logaritmul valorilor și, folosind sumele totale ale Tabelului 2 situate în celulele A26, C26, H26 și I26, obținem sistemul După ce am rezolvat sistemul 18obținem și. După potențare obținem. Astfel, aproximarea exponențială are forma Rezolvăm sistemul 18 folosind instrumentele Microsoft Excel.

Mai puțin Acest subiect acoperă diferitele opțiuni de linie de tendință care sunt disponibile în Office. Linie de tendință liniară Utilizați acest tip de linie de tendință pentru a crea o linie dreaptă cea mai potrivită pentru seturi de date liniare simple. Datele sunt liniare dacă modelul din punctele sale de date arată ca o linie. O linie de tendință liniară Arată, de obicei, că ceva este în creștere sau descreștere la o rată constantă.

Rezultatele sunt prezentate în Tabelul 5. Să calculăm media aritmetică folosind formulele: Rezultatele calculului utilizând Microsoft Excel sunt prezentate în Tabelul 6. Celulele A1: A26 și B1: B26 au fost deja completate.

Funcții Excel (după categorie) - Asistență Office

Pasul 2 Această formulă este copiată în celulele J2: J Pasul 4 Această formulă este copiată în celulele k2: K Pasul 6 Această formulă este copiată în celulele L2: L Pasul 8 Această formulă este copiată în celulele M2: M În celulele N2: N25, această formulă este copiată.

Pasul 12 Această formulă este copiată în celulele O2: O Următorii pași se fac folosind sumarea automată.

liniile de tendință și funcțiile sale

Acum să calculăm coeficientul de corelație folosind formula 8 numai pentru aproximare liniară și coeficientul de determinism folosind formula Rezultatele calculelor folosind Microsoft Excel sunt prezentate în Tabelul 8. O analiză a rezultatelor calculului arată că aproximarea pătratică descrie cel mai bine datele experimentale. Diagrama algoritmică Figura: 1. Schema algoritmului pentru programul de calcul. Figura 2. Figura 3 În plus față de cele luate în considerare, mai multe tipuri de regresie cu trei parametri sunt încorporate în Mathcad, implementarea lor este oarecum diferită de opțiunile de regresie de mai sus, deoarece, pe lângă matricea de date, necesită setarea unor valori inițiale ale coeficienților a, b, c.

Utilizați tipul adecvat de regresie dacă aveți o idee bună despre ce fel de dependență descrie matricea dvs. Atunci când tipul de regresie nu reflectă slab succesiunea datelor, rezultatul său este adesea nesatisfăcător și chiar foarte diferit în funcție de alegerea valorilor inițiale. Fiecare dintre funcții produce un vector cu parametrii specificați a, b, c. Această funcție utilizează metoda celor mai mici pătrate pentru a calcula linia dreaptă care se potrivește cel mai bine cu datele disponibile.

Funcția returnează o matrice care descrie linia rezultată. Acest interval poate fi localizat oriunde pe foaia de lucru. Ca rezultat, toate celulele din intervalul A B69 ar trebui să fie umplute așa cum se arată în Tabelul 9. Tabelul 9.

  1. Opțiuni de linie de tendință în Office - Asistență Office
  2. Închidere Selectați celulele care conțin datele pe care doriți să le utilizați pentru a construi graficul.
  3. Сьюзан едва заметно кивнула: - Он требовал, чтобы мы сделали признание… о «ТРАНСТЕКСТЕ»… это стоило ему… - Признание? - растерянно прервал ее Бринкерхофф.

Valorile situate în celulele A65 și B65 caracterizează panta și, respectiv, deplasarea - coeficientul de determinism. Prezentarea rezultatelor sub formă de grafice Figura: 4. Grafic de aproximare liniară Figura: 5.

Lucrarea la curs: Aproximarea unei funcții prin metoda celor mai mici pătrate.

Grafic de aproximare pătratică Figura: 6. Diagrama de aproximare exponențială concluzii Să tragem concluzii pe baza rezultatelor datelor obținute. Analiza rezultatelor calculului arată că aproximarea pătratică descrie cel mai bine datele experimentale, deoarece linia de tendință pentru aceasta reflectă cel mai exact comportamentul funcției în această zonă.

Comparând rezultatele obținute folosind funcția LINEST, vedem că acestea coincid complet cu calculele efectuate mai sus.

Aceasta indică faptul că liniile de tendință și funcțiile sale sunt corecte. Rezultatele obținute folosind programul MathCad coincid complet cu valorile date mai sus. Aceasta indică corectitudinea calculelor.

Utilarticole